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高中數學建模的主要過程及教學案例

來源:科學咨詢(教育科研), 作者:王秀剛
發布于:2021-04-20 共3265字

  摘    要: 高中新課程標準中提出了數學建模核心素養,數學建模素養的培養是高中數學教學中的重要內容,提高數學建模素養是影響學生綜合數學素養的重要因素。數學建模共有四個步驟,通過對每一個步驟最核心內容的闡述,將有利于開展數學建模教學活動。

  關鍵詞: 數學建模; 高中數學; 數學教學; 數學素養;

  最新頒布的《普通高中數學課程標準》(2017年版)(以下簡稱《課標》(2017年版))中明確了中學階段數學學科核心素養,包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[1]。史寧中教授也曾多次表示數學學科核心素養可以更簡單地概括為抽象、推理、模型。此次新課標的公布進一步強調了數學建模的重要性,突出了建模在數學教學中的重要地位。事實上,在2003年公布的《普通高中數學課程標準(實驗)》中就開始強調數學建模的重要性。強調在整個高中課程內容中滲透數學建模思想,并至少在高中階段安排一次建;顒。在最初這對數學一線數學教育工作者來說是一個不小的挑戰,特別是在重視推理、運算能力,強調解題為主,以面對高考為最根本出發點的高中數學教學中,教師們將數學建模融入課堂教學確實具有一定的難度。但是,隨著不斷的變化和認識,數學建模已經不再是陌生的事物。由于數學建?梢院喕瘮祵W問題,更容易地分析數學數據解決數學問題。近年來,數學建模教學在我國中學教學中得到了廣泛的應用。許多從事數學教學的積極參與到數學建模教學領域的研究中,尋找答案來解決數學教學中存在的問題。不過,隨著社會的變化,人們對數學和人才培養質量也不斷提出新的要求。加之新的教育理念、教育方法、教育技術快速地涌進一線教學,數學建模的教學也處在不斷地變化甚至是挑戰之中。

  一、數學建模的主要過程

  按照《課標》(2017年版)的要求,數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。主要過程包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題。通過這些描述可以看出數學建模的過程實際上是一個完整的數學問題解決過程,在這個過程中學生要對問題有深入的分析,不但能夠發現問題還有能夠找到解決問題的辦法,更為重要的是在進行一定操作運算之后能夠對模型有所改進,驗證結果。通過高中數學課程的學習,學生能夠有意識地用數學語言表達現實世界,發現問題并提出問題,理解數學與現實的關系。學會用數學模型解決實際問題,積累實踐經驗。認識數學模型在科學、社會和工程技術中的作用,提高實踐能力,增強創新意識和科學精神[2,3]。
 

高中數學建模的主要過程及教學案例
 

  數學最為基本的核心素養是抽象、推理、模型,但是這三者之間并不是相互獨立,互不聯系的過程。我們在解決一個實際問題的過程中,往往是三個素養同時發揮作用,或者多次交互發生,這一點從數學建模的四個過程就可以看出。

  第一步,發現問題,提出問題。發現問題、提出問題一直以來是數學教育關注的重點內容。在20世紀我國的數學教育更加側重學生三大能力的培養,在學生問題解決表現方面沒有給予足夠的重視。在21世紀初期,隨著新課改的推行,問題解決能力逐漸受到大家的認可和重視。在課堂教學或者課程標準制定中都考慮了學生在這些方面的能力。我國學生歷來比較擅長解決問題,并且往往是封閉性問題。蔡金法教授對中美學生在開放性問題的對比研究中清晰地展示了這種差異,而在問題提出等方面我國學生仍然還需提高,需要引導學生能夠主動思考,主動發現問題,提出問題。作為數學建模的第一個過程,這里面的發現問題和提出問題是在一定的情境下,對所涉及的現實場景或者某個具體數學情境下的深入思考,所提出的問題可以是經過數學抽象后的數學問題,也可以是一個現實問題。這個過程最重要的是提出一個問題,而且是一個具有一定價值的問題,有了這個問題或者一系列問題才能夠為后續的建;顒哟蜷_局面。

  第二步,分析問題,建立模型。對問題的分析并不局限于數學,還需要調整其他學科或生活經驗,往往還需要查閱資料。這一過程主要是對前面提出問題的再加工,在這一過程中一定要將問題進一步數學化,或者說完全轉化為數學問題,雖然可能仍然帶有不同的現實背景,但問題的內部結構關系一定是數學的。這種再加工的過程就是應用已經學習過的數學定理、概念、性質等知識把問題模型化。經過上述兩個步驟完成了數學抽象的過程,從現實世界進入了數學世界,用數學的規律和方法分析問題。

  第三步,確定參數,計算求解。這一過程就是解決問題的過程,在這個過程中參數的確定最為關鍵。參數的確定需要基于高質量的數據,而數據收集往往是數學建;顒拥闹匾M成部分。數據的來源可以多樣化,在一些封閉性問題中要利用所給數據。而在一些開放性問題中,數據的獲得可以通過網絡、教科書、其他資料等。用數據來確定假設模型中的參數,通過計算為了解決數學問題,這個過程體現了數學建模和數據分析、數學運算、邏輯推理等素養直接相關[4]。

  第四步,檢驗結果,改進模型。這是最后的過程,在這個過程中要給出最后的結果。有些時候在第三個步驟就能夠得出問題的結果,或者作出結論的判斷。但是由于面對一個較為復雜的問題時,問題所涉及的方面較多,在模型中會涉及到很多參數,且在計算過程中所應用的數據來源也相對單一、有限,不能完全符合現實情況,會導致結果出現偏差。因此,在這個過程中研究者需要根據所解決問題的實際情況進行調整,做到最佳符合。

  二、數學建模教學案例

  例:市化工廠生產香皂,現接到生產180 g裝的香皂的訂單。目前化工廠有兩種規格的產品,分別是60 g裝每塊1.15 元,150 g裝每塊2.5元。那么180 g裝的香皂出廠價格為多少?

  第一步將香皂的體積與其表面積的函數關系看作一種相對規則形狀的對應關系。在簡化的情況下,明確問題中的變量和參數。這里可以設定香皂的出廠價格(y);香皂的成本(y1);香皂的包裝成本(y2);香皂的質量(w);香皂的質量為w時包裝的表面積(Sw)。

  第二步抽象出數學模型:

  (1)香皂的出廠價格y由香皂的生產成本y1和包裝成本y2確定;

  (2) 當香皂質量為w時,其表面積為

  (3) 香皂的生產成本與香皂質量成正比,設比例系數為k1,即y1=k1w;

  (4) 香皂的包裝成本與香皂表面積成正比,設比例系數為k2,即y2=kS2sw。

  在上述討論出的變量之間關系的基礎上以及香皂質量為w時其各項成本與相關因素之間的關系,得出關于香皂出廠價格的函數

  目標是在條件60 g裝的香皂出廠價為每塊1.15 元和150 g裝的香皂出廠價為每塊2.5 元下求出180 g裝的香皂的出廠價格。

  第三步是模型求解。由題中已知條件60 g裝的香皂出廠價為每塊1.15 元,150 g裝的香皂出廠價為每塊2.5 元。將其代入上述所求出廠價格的函數中得到

  二者聯立得由此解得k1≈9.668×10-3,將k1代入中,解得k2k3≈3.719×10-2。

  因此,香皂的出廠價格和香皂質量的表達式為

  那么當w=180時,對應的函數值即180g裝的該廠家生產的香皂的出廠價約為2.93元。

  接下來還可以對該問題做一步的討論,如果考慮單位質量內香皂所對應的出廠價格(記為y3),可以得到如下函數關系式:

  根據該函數的單調性也可以清楚地說明生活中常見的大包裝的商品售出的價格更低的現象。

  第四步,分析模型結果。根據日常生活經驗,結合在超市等地購物可以知道同類型商品往往購買體積、質量較大的會更劃算,也就是單位體積或者質量價格較低。這在酸奶、飲料中表現十分明顯。不過也要考慮隨著體積增大給包裝帶來的成本增加問題。事實上隨著體積的變化還會帶來商品擺放位置的變化,甚至影響商品的銷售成本?梢娺@是一系列問題,實際的建模問題比我們計算的還要復雜得多。但是從這個問題中學生能夠體會到數學建模的重要性,體會到數學對于解決問題的重要價值。

  參考文獻

  [1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.
  [2]黃群慧.高中數學建模教學的實踐探索[J].江西教育,2020(6):20-21.
  [3]吳靜怡.數學建模思想在高中數學課堂教學中的應用研究[J].數學教學通訊,2020(6):45-46
  [4]章建躍,張艷嬌,金克勤.數學建;顒拥恼n程理解、教材設計與教學實施[J].中學數學教學參考,2020(5):13-19.

作者單位:珠海市第一中學
原文出處:王秀剛.高中數學建模教學活動探析[J].科學咨詢(教育科研),2021(03):288-289.
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